В монографии рассматриваются вопросы возникновения и развития теории эллиптических дифференциальных уравнений от ее зарождения в 50-х годах XVIII ст. до создания в начале XX ст. основ современной теории. Выясняются истоки генезиса основных проблем, методов и теорем; прослеживаются направления развития теории, раскрываются внешние и внутренние стимулы этого развития. В историческом аспекте изучается взаимосвязь теории эллиптических уравнений с различными отраслями математики и математического естествознания. Значительное место уделено теор??и потенциала, теории уравнения Гельмгольца, теории бигармонического уравнения и теории линейных эллиптических уравнений второго порядка. Рассматриваются различные методы решения краевых задач, проблемы существования и единственности решений, изучаются функциональные свойства решений. В книге дается анализ работ многих видных математиков, показана ведущая роль в развитии теории-потенциала выдающихся отечественных ученых М.В.Остроградского, А.М.Ляпунова и В.А.Стеклова. Книга рассчитана на научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов.